带亏格界的各向异性极小曲面的 Min-Max 构造

我们建立了 Meeks-Simon-Yau 著名定理的各向异性类比：固定同痕类中的每个极小曲面序列收敛到一个光滑稳定的各向异性极小曲面，且亏格具有下半连续性。这一结果也加强了 White 关于各向异性极小圆盘的基础存在性理论。作为应用，我们发展了各向异性 Simon-Smith min-max 理论。在每个闭 $3$-流形中，我们在固定同痕类中构造各向异性 min-max 序列，其极限是稳定的各向异性极小曲面，除了可能在单个点外是光滑的。如果被积函数满足椭圆性界或 $C^3$-夹紧条件，我们通过证明两个独立的各向异性极小曲面可去奇点定理来去除该奇点，这些曲面在有限多个点之外是光滑且稳定的。这些可去奇点结果也允许去除 De Philippis-De Rosa 在 $3$-流形中的各向异性 Almgren-Pitts min-max 构造及其多参数变体中出现的奇点。