$\mathbb{Z}_{n}$ 本质理想图诱导子图的结构与谱

设 $R$ 为含单位元的交换环。$R$ 的本质理想图 $\mathcal{E}_R$ 是一个图，其顶点集由 $R$ 的所有非零真理想组成，两个顶点 $I$ 与 $K$ 相邻当且仅当 $I+K$ 为本质理想。本文中，我们讨论环 $\mathbb{Z}_{n}$ 的本质理想图之诱导子图作为 $\mathscr{G}$-广义联图的结构，并由此完全确定 $\mathcal{E}_{\mathbb{Z}_{n}}$ 的结构。此外，对于 $n= \prod_{i=1}^k p_i$，我们证明 $\mathcal{E}_{\mathbb{Z}_{n}}$ 为拉普拉斯整图的一个刻画，该刻画通过 $\mathbb{Z}_{n}$ 的零化理想图的顶点加权拉普拉斯矩阵给出。进一步，我们讨论 $\mathbb{Z}_{n}$ 的本质理想图之诱导子图的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵、无符号拉普拉斯矩阵及归一化拉普拉斯矩阵等各类矩阵的特征值。最后，我们得到 $\mathcal{E}_{\mathbb{Z}_{n}}$ 的谱半径与代数连通度的上界，并计算了使这些界取等的 $n$ 值。