以少量修改修补部分解

在本文中，我们研究修补（mending）的概念，即给定一个图问题的部分解，我们探究将其变为正确解需要多少代价。例如，若我们有一个图的部分着色，将其变为正常着色有多难？在先前工作（SIROCCO 2022）中，该问题被形式化并从修补半径的角度研究：若有一个需要修补的洞，我们需要修改解多远？在本工作中，我们研究修补体积的互补概念：需要修改多少个节点来修补一个洞？我们聚焦于树上的局部可检验标号问题（LCLs），并表明即便在此设定下也存在两个无限层级的问题：对于无穷多个值 $0 < \alpha \le 1$，存在一个修补体积为 $\Theta(n^\alpha)$ 的 LCL 问题；对于无穷多个值 $k \ge 1$，存在一个修补体积为 $\Theta(\log^k n)$ 的 LCL 问题。因此树上 LCL 问题的可修补性是一个比仅基于修补半径所预期的更细粒度的问题。我们定义了该主题的三种变体：（1）存在性修补体积，即需要修改多少个节点；（2）期望修补体积，即若使用随机性，我们需要找到补丁需探索多少个节点；（3）确定性修补体积，即若使用确定性算法，需要探索多少个节点。我们表明这三种概念彼此不同，并分析了相应模型下 LCL 问题复杂度的全景。