关于模素数的齐次与非齐次二次同余式的小解

我们证明了关于二次同余式 $\lambda_1x_1^2+\cdots+\lambda_nx_n^2\equiv \lambda_{n+1}\bmod{p^m}$ 中小权解的渐近公式，其中 $p$ 为固定的奇素数，$\lambda_1,...,\lambda_{n+1}$ 为整数系数，且 $(\lambda_1\cdots \lambda _{n},p)=1$，随着 $m\rightarrow \infty$ 趋于无穷大。如果 $n\ge 6$，$p\ge 5$ 且系数固定且满足 $\lambda_1,...,\lambda_n>0$ 且 $(\lambda_{n+1},p)=1$（非齐次情形），我们获得一个对中心在原点的边长至少为 $p^{(1/2+\varepsilon)m}$ 的立方体中积分解 $(x_1,...,x_n)$ 有效的渐近公式。如果 $n\ge 4$ 且 $\lambda_{n+1}=0$（齐次情形），我们对系数 $\lambda_i$ 允许随 $m$ 变化的情形证明了相同强度的结果。这些结果扩展了第一作者和第三作者以及 N. Bag 先前的结果。