函数域上固定阶数字符的 L 函数非零性

我们证明了当 $\ell \geq 3$ 时，$\chi_c$ 为 $\mathbb{F}_q[t]$ 上 $\ell^{\text{th}}$ 剩余符号的 $L(1/2,\chi_c)$ 中正比例的值非零，其中 $c$ 为 $\mathbb{F}_q[t]$ 中的平方自由多项式，$q \equiv 1(\textrm{mod}\,{2\ell})$ 固定，$c$ 的次数趋于无穷。当 $\ell=3$ 时，我们证明至少有 $1/6$ 的 $L(1/2,\chi_c)\neq 0$，而当 $\ell>3$ 时，比例取决于字符的阶数。这改进了 Ellenberg、Li 和 Shusterman 先前的结果，后者显示存在无穷多个阶为 (素数) $\ell$ 的 $\chi$ 使得 $L(1/2, \chi) \neq 0$（采用完全不同的技术）。本研究通过计算 $L$ 函数家族中零点的一级密度，并突破 Fourier 变换测试函数支持的 $(-1,1)$ 边界，以获得正比例的非零结果。我们还使用类似技术证明了关于当字符次数趋于无穷时，阶为 $\ell$ 的位移高斯和的角度均匀分布的结果，这一结果可能独立地具有兴趣。