广义 Hultman 数与断点图的循环结构

基因组重排可以建模为$k$-断裂，即在$k$个位置打断基因组并将产生的片段以新顺序重新连接。具体而言，反转、易位、融合和裂变被建模为$2$-断裂，而转座被建模为$3$-断裂。虽然进化中尚未观察到$k>3$的$k$-断裂重排，但它们被用于癌症基因组学中以模拟染色体碎裂 (chromothripsis)，这是一种基因组中同时发生多次断裂的灾难性事件。已知两个基因组之间的$k$-断裂距离（即将一个基因组转化为另一个基因组所需的最少$k$-断裂次数）可以根据这些基因组的断点图中的循环长度来计算。在目前的工作中，我们解决了枚举与固定单染色体基因组具有给定$k$-断裂距离的基因组的组合问题。更一般地，我们枚举了断点图具有给定循环长度分布的基因组对。我们进一步展示了我们的枚举如何用于在给定$k$-断裂距离下对随机基因组进行均匀采样，并描述了其与各种组合对象（如 Bell 多项式）的联系。