通过对称性与同态多项式获得代数复杂度下界

Valiant 猜想断言电路复杂度类 VP 和 VNP 是不同的，这意味着 permanent 不存在多项式大小的代数电路。正如复杂度理论的许多分支一样，这些复杂度类的无条件分离似乎难以实现。形成鲜明对比的是，Valiant 猜想的对称类比已被 Dawar 和 Wilsenach (2020) 证明：permanent 不存在多项式大小的对称代数电路，而 determinant 却存在。对称代数电路既是一个强大的计算模型，又易于证明无条件下界。在本文中，我们通过引入复杂度类 VP、VBP 和 VF 的对称类比（分别称为 symVP、symVBP 和 symVF）来发展对称代数复杂度理论。它们分别由具有多项式轨道大小的对称代数电路、skew circuits 和公式所表示的多项式组成。在定义了这些类之后，我们无条件地证明了 $\mathsf{symVF} \subsetneq \mathsf{symVBP} \subsetneq \mathsf{symVP}$。为此，我们将 symVF 和 symVBP 中的多项式刻画为分别具有有界 treedepth 和 pathwidth 的模式的同态多项式的线性组合。这推广了 Dawar、Pago 和 Seppelt (2026) 对 symVP 的先前刻画。最后，我们证明了 symVBP 和 symVP 包含分别是 VBP 完全和 VP 完全的同态多项式。我们给出了同态多项式及其线性组合成为 VBP、VP 或 VNP 完全的一般图论准则。这些条件下界极大地扩大了已知对 VNP、VP 或 VBP 完全的自然多项式的范围。在 VFPT $\neq$ VW[1] 的假设下，我们精确地将属于 VP 的同态多项式识别为那些其模式具有有界 treewidth 的多项式。