离散分布非线性泛函的局部差分隐私估计

我们研究在局部差分隐私背景下估计离散分布非线性泛函的问题。初始数据 $x_1,\ldots,x_n \in [K]$ 设为独立同分布且依未知离散分布 $p = (p_1,\ldots,p_K)$ 抽取。仅 $\alpha$-局部差分隐私（LDP）样本 $z_1,...,z_n$ 公开可用，其中“局部”一词指每个 $z_i$ 由单个属性 $x_i$ 生成。我们给出交互式（即允许使用已发布的保密数据）或非交互式的隐私机制（PM）。我们刻画了估计幂和泛函 $F_{\gamma} = \sum_{k=1}^K p_k^{\gamma}$，$\gamma >0$ 的二次风险随 $K, \, n$ 与 $\alpha$ 变化的行为。在非交互情形下，我们对所有 $\gamma >0$ 研究了 $F_{\gamma}$ 的两类插件型估计量，其类似于 Jiao 等人（2017）在多項式模型中分析的 MLE。然而，由于隐私约束，我们所达速率更慢，且类似于 Collier 等人（2020）在高斯模型中获得的速率。在交互情形下，我们对所有 $\gamma >1$ 引入一个两步过程，当 $\gamma \geq 2$ 时达到更快的参数化速率 $(n \alpha^2)^{-1/2}$。我们给出对所有 $\alpha$-LDP 机制及所有使用隐私样本的估计量的下界结果。