用于分数估计的局部 Fokker–Planck 几何：热球中值表示与精确高维采样

基于分数的生成模型与 Langevin 采样器依赖于估计前向扩散的分数函数 $\nabla_x\log p_t(x)$。经典地，当漂移项为线性时这是易处理的：边缘密度为高斯分布且分数为全局条件期望。对于一般的非线性、状态依赖漂移项，边缘密度无闭式表达，现有方法——去噪分数匹配与全局 Fokker–Planck 残差惩罚——诉诸全局平均，这恰好在精度最为关键的小密度区域放大了估计误差。我们通过发展一种将全局条件替换为局部抛物平均的局部 Fokker–Planck 几何框架来解决此问题。我们的方法基于三点贡献。第一，变换到累积方差坐标的时间变换将变系数 Fokker–Planck 方程化为标准非齐次热方程，在其上我们推广 Evans 经典的热球单调性方法，导出分数 $\nabla_x\log p$ 以及密度、对数密度与熵密度的精确局部中值表示；在显式依赖于维数的漂移预算下建立了局部适定性。第二，对于所得热球积分的高维蒙特卡洛评估，我们引入 $\kappa$-测度并导出其具有单位每样本权重、$\chi^2_2$ 径向集中性的精确因子化采样器。第三，热球残差的 $r\to0$ 极限恢复逐点 Fokker–Planck 残差，表明该局部框架是全局 FP-残差方法的一个单参数推广，且 DSM 总体极小化器在每个尺度上对热球约束都是可行的。我们在 256 维 MNIST 上的 2D 结构化数据以及一项验证集中律的专门采样器研究中验证了该框架。