学习积分
数值分析
2025-06-16 v1 数值分析
概率论
摘要
本工作涉及对某些资源密集型模拟（例如需要求解偏微分方程）的通用输入分布进行不确定性量化。虽然存在高效的数值方法可基于稀疏网格（SG）计算高斯和其他可分离分布的积分，但实践中出现的输入数据往往不属于此类。因此，我们采用传输映射将复杂分布变换为多元标准正态分布。在生成学习中，已引入多种神经网络架构来近似完成此任务。例如，仿射耦合流（ACF）和基于常微分方程的网络，如条件流匹配（CFM）。为计算感兴趣量的期望值，我们将学习到的传输映射的逆与模拟代码输出进行复合后进行数值积分。由于该映射在多元高斯分布上积分，可以应用 SG 技术。将 SG 积分节点的像视为给定复杂分布的学习积分节点，启发了我们的标题。我们对总次数为特定值的单项式进行了演示，对于这些单项式，未映射的 SG 规则是精确的。我们还将该方法应用于具有由指数化 Lévy 随机场建模的系数的定态扩散方程，使用了 9 和 25 模的 Karhunen-Loève 类模态展开。在一系列数值实验中，我们研究了学习精度、积分、统计估计、输入随机场模态级数的截断以及训练数据大小对三种归一化流（ACF、条件流匹配和最优传输流匹配）造成的误差。我们讨论了本方法所基于的数学假设，并展示了当这些假设被违反时的局限性。
引用
@article{arxiv.2506.11801,
title = {Learning to Integrate},
author = {Oliver G. Ernst and Hanno Gottschalk and Toni Kowalewitz and Patrick Krüger},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.11801},
year = {2025}
}