学习逆问题的最优 Tikhonov 正则化器

在这项工作中，我们考虑线性逆问题 $y=Ax+\epsilon$，其中 $A\colon X\to Y$ 是 separable Hilbert 空间 $X$ 与 $Y$ 之间已知的线性算子，$x$ 是 $X$ 中的随机变量，$\epsilon$ 是 $Y$ 中的零均值随机过程。该设定涵盖了成像中的若干逆问题，包括去噪、去模糊和 X 射线断层成像。在经典的正则化框架内，我们关注正则化泛函并非先验给定而是从数据中学习的情形。我们的第一个结果是对最优广义 Tikhonov 正则化器关于均方误差的刻画。我们发现它完全独立于前向算子 $A$，且仅依赖于 $x$ 的均值与协方差。接着，我们考虑从有限训练集在两个不同框架中学习正则化器的问题：一个基于 $x$ 与 $y$ 两者样本的监督框架，以及一个仅基于 $x$ 样本的无监督框架。在两种情况下，我们对 $x$ 与 $\epsilon$ 的分布施加若干弱假设（包括亚高斯变量情形），证明了泛化界。我们的界在无限维空间中成立，从而表明越来越细的离散化并不会使该学习问题更困难。结果通过数值模拟得到验证。