从高维点查询中学习一般稀疏加性模型

我们考虑在立方体 $[-1,1]^d\subset {\mathbb R}^d$ 上学习 $d$ 元函数 $f$ 的问题，其中假设算法可在该域内黑箱访问 $f$ 的样本。记 ${\mathcal S}_r \subset {[d] \choose r}; r=1,\dots,r_0$ 为由坐标变量间未知 $r$ 元交互构成的集合。我们随后聚焦于 $f$ 具有加性结构的情形，即它可表示为 $$f = \sum_{{\mathbf j} \in {\mathcal S}_1} \phi_{{\mathbf j}} + \sum_{{\mathbf j} \in {\mathcal S}_2} \phi_{{\mathbf j}} + \dots + \sum_{{\mathbf j} \in {\mathcal S}_{r_0}} \phi_{{\mathbf j}},$$ 其中每个 $\phi_{{\mathbf j}}$；${\mathbf j} \in {\cal S}_r$ 对于 $1 \leq r \leq r_0$ 至多为 $r$ 元函数。我们推导出在精心构造的点集上查询 $f$ 并以高概率精确恢复每个 ${\mathcal S}_r$ 的随机化算法。与先前工作相反，我们的分析不依赖于用有限阶差分对导数作数值近似。