学习作为几何相变：深度网络中的重整化群流与各向异性对称破缺

我们将特征学习表述为提升张量积学习度量的几何临界现象。中心对象不是标量重叠，而是目标活跃几何 $$\mathcal N_{0,L}=\frac1N\sum_{r=1}^{L}\Sigma_{r\to L}\otimes T_{0\to r-1},$$，它纠缠了前向拉回存活与后向推前可见性。中性相是目标各向同性的：在限制到端点目标活跃态并进行迹归一化后，提升度量与单位矩阵成正比。学习对应于该目标各向同性不动点的不稳定性以及无迹目标对齐本征张量的出现。我们推导了局域各向异性插入的离散Dyson展开及其连续Callan-Symanzik流。至关重要的是，在构建完整的时间平均场理论之前，我们直接从微观运动学中识别出$\beta$-函数的局域空间源：异步梯度更新产生同步度量应变，其目标活跃对称无迹分量充当类曲率缺陷。Wilson深度RG流随后由这些缺陷的输运、平衡和粗粒化无关性所支配。在无标度计数假设下，重尾谱作为目标活跃提升几何的谱出现，在匹配的拉回-推前扇区中具有指数相加。最后，我们将此深度RG图像与时间随机训练动力学以及学习通道对经验权重Gram矩阵的运动学印记联系起来。