标记与嵌入：论距离的分布式表示

我们研究对于哪些度量空间，距离标记与 $\ell_\infty$ 嵌入的性能不同，以及这种差异可能有多大。回顾一下，距离标记是度量空间 $(X,d)$ 中距离的分布式表示，其中每个点 $x\in X$ 被分配一个简洁标签，从而仅给定任意两点 $x,y \in X$ 的标签即可近似它们之间的距离。一个高度结构化的特例是嵌入到 $\ell_\infty$ 中，其中每个点 $x\in X$ 被分配一个向量 $f(x)$，使得 $\|f(x)-f(y)\|_\infty$ 近似于 $d(x,y)$。距离标记或 $\ell_\infty$ 嵌入的性能通过其失真和标签大小/维度来衡量。我们还研究了这两种度量的优先版本上的类似问题。这里给定点集 $X$ 的优先顺序 $\pi=(x_1,\dots,x_n)$，且更高优先级的点的标签应更短。形式上，距离标记具有优先标签大小 $\alpha(\cdot)$ 如果每个 $x_j$ 的标签大小至多为 $\alpha(j)$。类似地，嵌入 $f: X \to \ell_\infty$ 具有优先维度 $\alpha(\cdot)$ 如果 $f(x_j)$ 仅在前 $\alpha(j)$ 个坐标中非零。此外，我们将这些优先度量与其经典（最坏情况）版本进行比较。我们在几种情形下回答了这些问题，揭示了惊人多样的行为范围。首先，在某些情况下标记和嵌入具有非常相似的最坏情况性能，但在其他情况下存在巨大差异。然而在优先设定中，我们经常发现标记和嵌入性能之间的严格分离。最后，当比较经典和优先设定时，我们发现标签大小的最坏情况界经常“转化”为优先界，但也发现了这一规则的一个令人惊讶的例外。