无标签学习椭圆偏微分方程求解器及其在边值问题间的泛化能力
数值分析
2023-02-01 v2 数值分析
摘要
传统的基于数值离散的偏微分方程（PDE）求解器在根本上对域、边界条件和系数是不可知的。相比之下，机器学习求解器在这些边值问题要素上的泛化能力有限。对于通常直接在应用于某一特定边值问题的 PDE 直接数值模拟上训练的替代模型，这一点尤为明显。与这种直接方法不同，求解器的无标签机器学习以将 PDE 和边界条件以残差形式纳入的损失函数为中心。然而，它们跨边界条件的泛化有限，并且仍然强烈依赖于域。在此，我们提出一个框架，该框架在弱形式下学习 PDE 的同时，跨域、边界条件和系数进行泛化。我们的工作探索了简单的、基于卷积神经网络（CNN）的编码器-解码器架构学习以比局限于特定边值问题更大的通用性来求解 PDE 的能力。在这第一篇通讯中，我们考虑 Fickean 扩散、线性和非线性弹性的椭圆 PDE。重要的是，学习独立于来自实验或直接数值解的任何标签场数据而发生。针对这些问题类别的大量结果表明，该框架能够学习跨数十万个域、边界条件和系数（包括在学习区间外的外推）泛化的 PDE 求解器。一旦训练完成，机器学习求解器比基于离散的求解器快几个数量级。我们将我们的工作置于近期连续算子学习框架的背景下，并指出向迁移学习、主动学习和强化学习的扩展。
引用
@article{arxiv.2301.13165,
title = {Label-free learning of elliptic partial differential equation solvers with generalizability across boundary value problems},
author = {Xiaoxuan Zhang and Krishna Garikipati},
journal= {arXiv preprint arXiv:2301.13165},
year = {2023}
}
备注
5 figures. Supplementary Information included. This work is the next in the series beginning with arXiv:2101.04879. arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:2101.04879