$L_p$-zonoids和对称体的$L_p$-Rogers--Shephard型不等式

我们在Firey $L_p$-求和框架下研究经典Rogers--Shephard不等式的推广。我们首先考虑非对称$L_p$-zonoids类。在这种情况下,我们表明,证明$\mathbb{R}^n$中非对称$L_p$-zonoids的尖锐$L_p$-Rogers--Shephard不等式等价于证明$B_q^m\cap \mathbb{R}^m_+$和$B_q^m$在$n$维子空间$E$上的投影体积之间的尖锐不等式,其中$q$是$p$的Hölder共轭。我们猜想当子空间$E$是坐标子空间时不等式是尖锐的。我们在$p =2$的情况下完全建立了这个不等式以及等式条件。对于一般的$p$,我们在$n=m-1$、$n=1$的情况下证明了它,并讨论了几种特殊情况,包括不等式的平均版本和局部版本。然后我们转向具有对称中心的凸体的情况。Rogers和Shephard也证明了该类体的不等式的尖锐版本。我们猜想$L_p$-求和也有类似的界,并针对非对称$L_1$-zonoids的特殊情况建立了我们的猜想,这特别证明了我们在平面情况下的猜想。