变分量子算法的 Krylov-Lie 代数：表达性和可训练性的几何、深度感知洞察

变分量子算法（VQA）是近期量子计算的主要方法，但其效用受到贫瘠高原及其损失景观中其他病理的限制。基于动力学 Lie 代数、Jordan 代数 Wishart 系统、近似 t-设计和高斯随机电路的现有景观理论是基础性的，但它们通常忽略现实 ans\"atze 的有限深度几何，因此不适合浅深度区域，在浅深度区域 VQA 是 2-设计的差近似，且可训练性最可行。本论文引入 Krylov 代数，即由有限生成器集作用于一个或多个种子向量的 Krylov 跨度诱导的代数结构，作为 VQA 景观理论的框架。我们表明，VQA 可达流形可以通过 Krylov-Lie 代数和群以数值稳健、几何忠实的方式近似，并且这些结构诱导了用于在一般采样测度下计算期望值和方差的规范不变测度。特别是，我们推导了加权非 Haar 方差公式，该公式将通常的 Lie 代数 Haar 公式作为特例恢复，同时将非 Haar 效应隔离为显式修正项。我们还表明，没有额外假设，足够深的电路集成必须收敛到 Haar 的常见启发式方法通常失败，确定了朴素 Haar 收敛的具体障碍，并在自然必要且充分的遍历条件下恢复了收敛性。最后，我们的公式进一步表明，非 Haar 贡献可能通过重新加权损失景观的可见扇区来缓解贫瘠高原，这表明 VQA 可能比近期文献所假设的更具可训练性。