Bloch 球上相干态的等谱优序与等周不等式

设 $\mathcal{P}_{N}$ 为次数至多为 $N$ 的解析多项式构成的 $(N+1)$ 维 Hilbert 空间。这是定义 $SU(2)$ (Bloch) 相干态的自然环境。设 $Q_{\rho }$ 为密度算子 $\rho$ 在 $\mathcal{P}_{N}$ 上的 Husimi 函数。我们证明 Lieb-Solovej 不等式的等谱版本：若 $\rho ^{\downarrow }$ 是通过将 $\rho$ 的特征值沿单项式基按递减顺序排列得到的，则对于 $[0,1]$ 上的任意凸函数 $\Phi$，有 \begin{equation*} \int_{\mathbb{C}}\Phi (Q_{\rho }(z))\,dm(z)\leq \int_{\mathbb{C}}\Phi (Q_{\rho ^{\downarrow }}(z))\,dm(z) \end{equation*} 将相应的反向不等式应用于凹函数 $\Phi (t)=-t\log t$ 即可得到 Wehrl 熵。在此过程中，我们证明了 $\rho$ 在 Lieb-Solovej 信道下的输出态被态 $\rho ^{\downarrow }$ 的输出所优序。作为应用，在球面上所有具有固定面积的可测子集中，球冠最大化了符号为 $1_{\Omega}$ 的 Toeplitz 算子特征值的所有部分和。等价地，球冠最大化了所有 Ky Fan 范数，从而导出了先前仅对 $r=1$ 已知的锐不等式：\begin{equation*} \sum_{j=1}^{r}\lambda_{j}(\Omega) \leq r-\sum_{k=0}^{r-1}(r-k)\binom{N+1}{k} m(\Omega)^{k}\bigl(1-m(\Omega)\bigr)^{N+1-k}. \end{equation*} 这蕴含了 $T_{\Omega}$ 的所有 Schatten 和的等周不等式，且该不等式是在未使用球面等周不等式的情况下得到的。