iPCA 与星型箭图的稳定性

积分主成分分析（integrated principal components analysis，iPCA）是 Tang 和 Allen 最近提出的一种针对分组向量数据的无监督学习技术。与 PCA 类似，iPCA 计算最能解释数据方差的新轴，但 iPCA 旨在处理每组内元素相互之间的 corrupting 影响——例如一所学校中按班级分组的学生数据。Tang 和 Allen 通过实证表明，正则化 iPCA 能在实践中为此类分组数据找到有用的特征。然而，目前尚不清楚非正则化 iPCA 在一般情形下何时存在。作为对比，PCA（它是 iPCA 的特例）通常在数据点个数超过维数时即存在。我们研究这一问题，发现答案比 PCA 的情形要复杂得多。尽管存在这种复杂性，我们为一种非常有用的情况找到了简单的充分条件——当各组大小不超过维数的一半且数据点总数超过维数时，iPCA 在一般情形下存在。我们还完整刻画了所有组大小相同时 iPCA 的存在性。然而，当各组大小不全相同时，我们发现使 iPCA 在一般情形下存在的组大小是非凸多面锥并集中的整点。尽管如此，我们给出了一个判定 iPCA 是否在一般情形下存在的算法，该算法在节点维数上是多项式时间的（基于 Knutson 和 Tao 对饱和猜想的肯定回答以及一个非常简单的随机算法）。我们的方法核心在于建立了 iPCA 与星型箭图稳定性概念之间的联系，从而将不变理论和箭图表示论的工具引入其中。