Fisher-Hartwig 渐近性与随机矩阵理论中的对数相关场

本论文基于与 Jon Keating [FK21]、Tom Claeys 和 Jon Keating [CFK23] 以及 Isao Sauzedde [FS22] 的合作研究，旨在建立并研究随机矩阵与对数相关场之间的联系。这借助了包括若干新建立的关于具有 Fisher-Hartwig 奇点的 Toeplitz 及 Toeplitz+Hankel 行列式渐近性的公式得以实现。第 1 章中，我们介绍所关注的数学对象。特别地，我们阐释随机矩阵特征多项式、对数相关场、高斯乘性混沌、矩的矩，以及具有 Fisher-Hartwig 奇点的 Toeplitz 与 Toeplitz+Hankel 行列式之间的关系。第 2 章中，我们利用黎曼-希尔伯特技术建立具有两对复共轭合并 Fisher-Hartwig 奇点的 Toeplitz 及 Toeplitz+Hankel 行列式渐近性公式。第 3 章中，我们通过证明类似于 [Web15] 中首次建立的酉群情形，随机正交与辛矩阵的特征多项式在适当归一化后收敛于单位圆上的高斯乘性混沌测度，从而补全经典紧群与高斯乘性混沌之间的联系。第 4 章中，我们计算随机正交与辛矩阵的矩的矩的渐近性，其可表示为对 Toeplitz+Hankel 行列式的积分。我们观测到的相变与 [Fah21] 中酉群情形所证者形成鲜明对比。第 5 章中，我们建立酉布朗运动特征多项式的对数在 Sobolev 空间中收敛于柱面上的高斯自由场，从而证明 [HKO01] 中经典平稳结果的动力学类比。