有界孪生宽度和低半径合并宽度图中的独立集难度

对于每个$\varepsilon > 0$，最大独立集在有效有界孪生宽度的$n$顶点图上承认多项式时间$n^\varepsilon$近似算法[Berg\'e等人，STACS '23]。实际获得的近似因子更精确地是$n^{O(1/ \log \log n)}$。在当前论文之前，该问题没有已知的近似难度，并且多项式时间近似方案（PTAS）的存在性被反复提出作为开放问题。我们以强意义回答这个问题：我们表明存在一个常数$\gamma > 0$，使得孪生宽度至多为4的图上的最大独立集的多项式时间$n^{\gamma/ (\log \log n)^2}$近似算法将反驳指数时间假说（ETH）。如果输入中提供了4序列，该下界仍然成立。我们展示了最小着色问题的相同近似难度，该问题在有效有界孪生宽度图上也有几乎匹配的$n^{O(1/ \log \log n)}$近似算法。我们还阐明了当$r$的范围受限时，有界半径-$r$合并宽度图上的$k$-独立集的参数化复杂性。对于给定半径-$2^{O(k^2)}$合并序列的有界宽度图上的$k$-独立集，存在固定参数可处理算法[Dreier和Toru\'nczyk，STOC '25]。我们通过表明$k$-独立集在给定半径-$o(k)$合并序列的有界宽度图上是W[1]-难的来补充这一结果。我们进一步表明，这一结果也适用于$k$-支配集。