高维空间中的范围内最远点查询及相关问题

范围聚集查询是一类具有重要应用价值的查询。其旨在获取给定查询范围 $B$ 内点集 $P$ 中点的某种由聚集函数 $F(\cdot)$ 定义的结构信息。本文中，我们针对两个聚集函数研究高维空间中的范围聚集查询问题：(1) $F(P \cap B)$ 为 $P \cap B$ 中到查询点 $q \in \mathbb{R}^d$ 的最远点；(2) $F(P \cap B)$ 为 $P \cap B$ 的最小包围球（MEB）。对于问题 (1)，称为范围内最远点（IFP）查询，我们提出了一种双准则近似方案：对于任意指定最远距离近似比的 $\epsilon>0$ 和度量查询范围“模糊度”的 $\gamma>0$，我们证明可将 $P$ 在 $\tilde{O}_{\epsilon,\gamma}(dn^{1+\rho})$ 时间内预处理为大小为 $\tilde{O}_{\epsilon,\gamma}(dn^{1+\rho})$ 的数据结构，使得给定任意 $\mathbb{R}^d$ 查询球 $B$ 和查询点 $q$，可在 $\tilde{O}_{\epsilon,\gamma}(dn^{\rho})$ 时间内输出一点 $p$，它是 $B$ 的 $(1+\gamma)$ 扩张 $B(1+\gamma)$ 内所有点中到 $q$ 最远点的 $(1-\epsilon)$-近似，其中 $0<\rho<1$ 为依赖于 $\epsilon$ 和 $\gamma$ 的常数，大 O 记号中的隐藏常数仅依赖于 $\epsilon$、$\gamma$ 和 $\text{Polylog}(nd)$。对于问题 (2)，我们证明 IFP 结果可用于开发具有类似时空复杂度的查询方案，以获得 MEB 的 $(1+\epsilon)$-近似。