字符值非字符次数的有限群

设 $G$ 为有限群，$\chi \in \mathrm{Irr}(G)$。定义 $\mathrm{cv}(G)=\{\chi(g)\mid \chi \in \mathrm{Irr}(G), g\in G\}$、$\mathrm{cv}(\chi)=\{\chi(g)\mid g\in G\}$，并记 $\mathrm{dl}(G)$ 为 $G$ 的派生长度。在1990年代，Berkovich、Chillag 和 Zhmud 描述了所有非线性 $\chi \in \mathrm{Irr}(G)$ 满足 $|\mathrm{cv}(\chi)|=3$ 的群 $G$，并指出这些群是可解的。他们还考虑了存在非线性 $\chi \in \mathrm{Irr}(G)$ 满足 $|\mathrm{cv}(\chi)|=4$ 的群。在继续他们的工作方面，本文证明：若所有非线性 $\chi \in \mathrm{Irr}(G)$ 满足 $|\mathrm{cv}(\chi)|\leqslant 4$，则 $G$ 为可解群。我们还考察了满足 $|\mathrm{cv}(G)\\setminus \mathrm{cd}(G)|=2$ 的群 $G$。T. Sakurai 在 $|\mathrm{cd}(G)|=2$ 时对这些群进行了分类。我们证明 $G$ 为可解群，并对 $|\mathrm{cd}(G)|\leqslant 4$ 或 $\mathrm{dl}(G)\leqslant 3$ 时的群 $G$ 进行分类。值得注意的是，这些群满足所有 $\chi \in \mathrm{Irr}(G)$ 满足 $|\mathrm{cv}(\chi)|\leqslant 4$。最后，我们考察了 $|\mathrm{cv}(G)\\setminus \mathrm{cd}(G)|=3$ 的有限群 $G$。对于 nilpotent 群，我们得到一种描述，与 Berkovich、Chillag 和 Zhmud 的工作相关。对于非 nilpotent 群，我们得到当 $\mathrm{dl}(G)=2$ 时 $G$ 的结构。