近线性时间内最小距离的改进近似

我们研究了在最小距离度量下逼近有向图直径的问题，该度量定义为 $d_{\min}(u,v) = \min(d(u,v), d(v,u))$。与标准最短路径距离不同，最小距离不是度量，这使得许多经典技术不适用。因此，先前的工作集中于逼近该参数，最终由 Dalirrooyfard 等人 [ICALP'19] 给出了近似-运行时间权衡，对于任何正整数 $k$，在 $\tilde{O}(mn^{1/(k+1)})$ 时间内给出 $4k-1$ 近似，以及最近由 Chechik 和 Zhang [FOCS'22] 提出的第一个近线性时间常数近似，他们获得了最小直径的 4 近似。在这项工作中，我们提出了一种随机近线性时间算法，实现了最小直径的 $3$ 近似，优于所有已知的近似-运行时间权衡。我们的方法引入了一种新颖的类型分类框架，这可能具有独立的意义。我们进一步将我们的技术扩展到更一般的多模态图设置，该设置最近由 Kirkpatrick 和 Vassilevska W. [MFCS'25] 作为最小距离的推广引入。对于有向 $2$-模态图，我们在近线性时间内获得了直径的 $3$ 近似，显著改善了先前最著名的 $n$ 近似。我们的结果显著缩小了最小距离和多模态距离近似之间的差距，并为理解非度量距离度量下的图参数开辟了新的方向。