强凸光滑函数动态遗憾的改进分析

本文针对强凸光滑函数的动态遗憾给出了改进分析。具体而言，我们研究了 Zhang 等人（2017）提出的在线多重梯度下降（OMGD）算法。原分析表明 OMGD 的动态遗憾至多为 $\mathcal{O}(\min\{\mathcal{P}_T,\mathcal{S}_T\})$，其中 $\mathcal{P}_T$ 和 $\mathcal{S}_T$ 分别为路径长度和平方路径长度，用于度量在线函数极小值的累积移动。我们证明，通过改进分析，OMGD 的动态遗憾可改进为 $\mathcal{O}(\min\{\mathcal{P}_T,\mathcal{S}_T,\mathcal{V}_T\})$，其中 $\mathcal{V}_T$ 为在线函数的函数变差。注意 $\mathcal{P}_T, \mathcal{S}_T, \mathcal{V}_T$ 本质上反映了环境非平稳性的不同方面——它们一般不可比较，且在不同场景中各有优势。因此，本文给出的动态遗憾实际上实现了\emph{三世界最佳}保证，且严格优于先前结果。