完备字典学习的可辨识性

稀疏分量分析（SCA），也称为完备字典学习，是如下问题：给定输入矩阵 $M$ 与整数 $r$，寻找具有 $r$ 列的字典 $D$ 与具有 $k$-稀疏列（即 $B$ 的每一列至多具有 $k$ 个非零项）的矩阵 $B$，使得 $M \approx DB$。SCA 中的一个关键问题为可辨识性，即刻画 $D$ 与 $B$ 本质上唯一（即除 $D$ 的列与 $B$ 的行的置换与缩放外唯一）的条件。尽管在过去二十年中 SCA 已被广泛研究，仅有少数工作在确定性场景下处理该问题，且尚无工作给出导致可辨识性的最小样本数（即 $M$ 的列数）的合理界。本文中，我们在数据具有低秩结构（即 $D$ 为（欠）完备）的确定性场景下给出新结果。先前界含有组合项 $r \choose k$，我们给出涉及 $\mathcal{O}(r^3/(r-k)^2)$ 样本的充分条件，只要这些数据点在 $D$ 的 $r-1$ 列所张成的子空间间分布良好，即可产生本质唯一的分解。我们还给出了样本数的必要下界，其在 $k$ 等于 $r-1$ 时与文献中先前结果矛盾。相比当前最优，我们的界有显著改进，并意味着例如对于固定的零比例（恒定且与 $r$ 无关，如 $B$ 中 10% 零项），仅需 $\mathcal{O}(r)$ 个数据点即可保证可辨识性。