有限集合函数的线性表示

我们证明，任何从有限集合 $Y$ 到自身的函数 $f$ 都可以线性表示。具体而言，我们证明存在从 $Y$ 映射到模块环 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ 的单射映射 $j$ 以及常数 $a \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$，使得 $j(f(y)) = a \cdot j(y)$ 在 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ 中对所有 $y \in Y$ 成立。该结果通过分析函数 digraph 特征矩阵伴随矩阵的代数性质得出。该证明是构造性的，提供了寻找嵌入映射 $j$、模数 $m$ 以及线性乘子 $a$ 的方法。