牛顿偏心轨道问题的双曲完备化：$SO(2,1)$ 对称性、反演对偶性与磁分类

我们解决了奇异势 $$V(r)=-\frac{\alpha}{(R^2-r^2)^2},\qquad \alpha>0.$$ 的双曲偏心轨道问题。在零能量下，Jacobi 度量在由 $r=R$ 分隔的两个分量上具有常负曲率。内部 Jacobi 度量是 Poincaré 圆盘度量的常数倍，而圆反演将外部等距映射到带孔圆盘。我们对所有零能量轨迹进行分类：非径向轨道是与 $r=R$ 正交的欧氏圆弧，径向轨迹位于通过原点的直线上，且力心位于每个非径向支撑圆之外。一个显式的 Runge--Lenz 型矩映射闭合为 $\mathfrak{so}(2,1)$，其 Casimir 是双曲测地线哈密顿量。反演的正则余切提升保持对称生成元，并将零能量流映射到自身（相差一个正的时间重参数化）。奇异圆在有限的牛顿时间内可达，但位于无穷大的 Jacobi 距离处。在量子力学上，我们区分了 Stäckel 耦合变换与真正的酉等价，后者的欧氏代表是散度型算子，而非朴素的平坦薛定谔算子。双曲连续谱的底部映射到平方反比边界模型的 Hardy/振荡阈值。最后，保持对称性的径向磁场变为双曲平面上的常数内禀场。其平移后的 Casimir 将轨迹分类为闭合磁圆、horocycles 或开放超圆，零场测地线作为极限情况，并在 $Q^2=8m\alpha R^2$ 处发生转变。数值积分证实了轨道方程和守恒量。