图形配置空间、Contractad 与 Formality

给定有限简单连通图 $\Gamma$，图形配置空间 $\mathrm{Conf}_{\Gamma}(X)$ 是由顶点索引的点集合构成的空间，其中相邻顶点对应的点必须互不相同。当 $X=\mathbb{R}^d$ 且点被替换为小圆盘时，所有可能的图形配置空间构成一种延伸little disks operad的代数结构，称为 little disks contractad $\mathcal{D}_d$。本文研究了 little disks contractad $\mathcal{D}_d$的同伦与代数性质。我们构造并研究了图形配置空间的 Fulton-MacPherson 紧化，作为带边界紧致流形中 $\mathcal{D}_d$的便利模型。借助这些和 wonderful 紧化，我们证明 $\mathcal{D}_d$ 在 (Hopf) contractad 的范畴中对 $d=1$、$d=2$ 以及任意 $d$ 的 chordal 图是 formal 的。我们还识别了循环图情形下的非 formality 的第一个阻滞。此外，我们给出 $\mathcal{D}_2$ 单元结构的组合描述，并以 twisted algebra 的语言展示了关于图形配置空间 $\mathrm{Conf}_{\Gamma}(X)$的若干应用。