凸域$p$-扭转刚度的比较结果

对于每个开放、有界且凸的域$\Omega \subset \mathbb{R}^{D},$ $D\geq 2,$ 和每个实数 $p>1,$ 我们记作$u_{p}$为域$\Omega$上的$p$-\emph{扭转函数}，即解\emph{扭转 creep problem} $\Delta_{p}u=-1$ in $\Omega$, $u=0$ on $\partial \Omega$,其中 $\Delta _{p}u:=\operatorname{div}( |\nabla u|^{p-2}\nabla u)$为$p$-Laplacian。设 $T_p(\Omega)$为域$\Omega$上的$p$-\emph{扭转刚度}，定义为 $T_{p}\left( \Omega \right) :=\int_{\Omega }u_{p}dx$。定义 $T\left( p;\Omega \right) :=|\Omega|^{p-1}T_{p}\left( \Omega \right)^{1-p}$，其中 $|\Omega|$为$\Omega$的 Lebesgue 测度。本文的主要目的是比较具有不同内半径的有界凸域的 $T(p;\Omega)$的值。我们证明对于任意 $0<a<b$，存在常数 $\gamma_{D,p}\in[1/D,1)$，仅取决于维数 $D$和参数 $p$，使得当且仅当 $\gamma_{D,p}b\geq a$ 时，都有 $T(p;\Omega_b)\leq T(p;\Omega_a)$，其中 $\PP^D(r)$表示具有内半径 $r$的 $\mathbb{R}^D$中凸有界域的集合。此外，我们讨论了渐近等价情况、极限情形 $p\rightarrow 1^+$ 和 $p\rightarrow\infty$，以及模型族（如矩形、正交体、椭圆和三角形）上我们界限的尖锐性。我们还在额外的几何约束下导出一种圣-韦兰德类型比较结果，作为本主要定理的直接结果。