关于 Merino--Welsh 猜想：改进 Jackson 不等式

Merino-Welsh 猜想指出，对于没有环和桥的图 $G$，其图 Tutte 多项式 $T_G(x,y)$ 满足不等式 $$\max(T_G(2,0),T_G(0,2))\geqslant T_G(1,1).$$$后来 Jackson 证明，对于任何没有环和coloop的 matroid$M$，都有$$T_M(3,0)T_M(0,3)\geqslant T_M(1,1)^2.$ 该结果中的常数3被 Beke、Cs\'aji、Csikv\'ari 和 Pituk improved 到 $2.9243$。本文进一步改进了该结果，通过证明 T_M(2.355,0)T_M(0,2.355)\geqslant T_M(1,1)^2.$$ 我们还证明了对于所有电路长度为 $\ell$ 且其对偶图 $M^*$ 电路长度为 $(\ell-2)^2(\ell^2-4\ell+2)$ 的 matroid $M$ (其中 $\ell\geqslant 4$)，Merino--Welsh 猜想成立。