分数波动方程的最优 $L^2$ 爆炸估计

本文讨论了具有加权 $L^1$ 初始数据的分数波动方程 Cauchy 问题解随时间的行为。首先，我们采用傅里叶方法建立解的全局存在性，并给出任意维数 $n\in \mathbb{N}$ 和 $s\in (0,1)$ 下解的 $L^2$ 范数和 $H^s$ 范数的上界。然而，当 $n=1$ 且 $s \in [\frac{1}{2},1)$ 时，我们需要假设初始速度满足 $\int_{\mathbb{R}}u_1(x)dx=0$。为消除这一更强假设，我们进一步采用傅里叶分割方法，得到解 $L^2$ 范数的最优爆炸率。具体而言，当 $n=1$ 时，最优爆炸率为 $t^{1-\frac{1}{2s}}$（$s \in (\frac{1}{2},1)$）和 $\sqrt{\log t}$（$s = \frac{1}{2}$）。