重叠网格上中心间断 Galerkin 方法的隐藏精度与超收敛分析

本文针对重叠网格上线性双曲方程的半离散和全离散中心间断 Galerkin（CDG）方法，建立了首个严格的超收敛理论。尽管 $\mathbb{Q}^k$ CDG 格式在均匀笛卡尔网格上的最优 $L^2$ 收敛已由 Liu、Shu 和 Zhang [SIAM J. Numer. Anal., 56 (2018), pp. 520--541] 建立，但由于 CDG 重叠结构中固有的标准单网格 Galerkin 正交性的丧失，他们观察到的 $\mathcal{O}(h^{k+2})$ 逐点超收敛一直未被证明。为了克服这一根本障碍，我们引入了一个投影-校正框架，揭示了一个隐藏的超收敛机制：一维中的渐近弱残差消除，以及多维中的高阶聚合消除（HOCA）机制。这种 HOCA 方法克服了由耦合的对偶-对偶方向残差带来的分析挑战，恢复了标准变分公式中所缺失的关键误差消除性质。因此，我们在所有超收敛点上的离散 $\ell^{\infty}$ 范数中，为猜想中的 $\mathcal{O}(h^{k+2})$ 逐点超收敛提供了严格证明。此外，我们揭示，在系统校正的初始化下，该框架产生了一个此前未被发现的、更强的 $\mathcal{O}(h^{\min\{2k+1,k+3\}})$ 阶单元平均超收敛估计。该理论被推广至全离散显式 Runge--Kutta CDG 格式，其中构造了逐阶段校正的误差以将空间超收敛保持至时间截断误差，从而产生了一个稳定的基于重构的后处理估计。一维和二维数值实验证实了理论速率的尖锐性。