(几乎)完美匹配翻转图中的哈密顿路径与圈

我们考虑图的匹配集合及其之间的局部变换操作，称为翻转。在组合设置中，基础图是完全图或完全二分图；在几何设置中，图嵌入在平面点集上，要求边必须画成直线且不得交叉。对于顶点数为偶数的基础图，我们考虑完美匹配，即所有顶点都被匹配；对于顶点数为奇数的基础图，我们考虑几乎完美匹配，即除一个顶点外所有顶点都被匹配。两个完美匹配之间的2-翻转交换两条边，两个几乎完美匹配之间的1-翻转交换一条边。相应的翻转图以完美或几乎完美匹配的集合为顶点，若两个匹配相差一个2-翻转或1-翻转，则它们之间有一条边相连。在这项工作中，我们提供了这些翻转图哈密顿性质的全面图景。我们证明了组合设置中的翻转图是哈密顿连通的，即任意两个顶点之间存在哈密顿路径；或者，如果翻转图是二部图，我们证明它们是哈密顿可花边的，即任意两个来自不同划分类的顶点之间存在哈密顿路径。在几何设置中，我们证明了其中的任何路径都会遗漏指数多个顶点，特别是它们没有哈密顿路径或圈。对于凸位置上的点和1-翻转下的几乎完美匹配，我们通过构造一个访问几乎所有顶点的翻转图中的圈来补充这一结果。