$f(R)$ 引力中的对称性与守恒量：Mei 法与 Noether 法的比较

我们研究了在 $f(R)$ 引力中对静态、径向对称的 Reissner--Nordstr"om 时空的对称性与守恒量，采用两种互补的框架：Noether 对称性和 Mei 对称性。从径向度规函数和曲率标量 $R$ 的正则拉格朗日量出发，我们推导出相应的哈密顿量，并指出当 $f(R)$ 对 $R$ 的一次导数和二次导数均非零时，Legendre 映射是正则的。在 Noether 方法（变分形式和Lie导数形式）下，我们获得一般的、规范的和内部的对称性类别，并识别出显式的生成器；对于二次模型 $f(R)=R^{2}$，包括径向平移和缩放对称性。在 Mei 对称性条件下，我们将Euler--Lagrange方程在第一次历元下的不变性作为条件，得到用于生成器分量的 overdetermined 偏微分方程组。求解 $f(R)=R^{2}$ 时的该方程组，我们发现8个线性无关的 Mei 生成器，并构建相应的守恒流，其中一些没有直接的 Noether 类比。该分析表明，Mei 对称性扩展了更高阶拉格朗日量的标准 Noether 框架，提供了与修改引力中黑洞动力学相关的额外守恒量。我们以 $f(R)$ 模型和旋转时空的更广泛应用为结论。