多环面上的无维数离散 Remez 型不等式

考虑 $f:\Omega^n_K \to \mathbf{C}$ 为阶为 $K$ 的乘法循环群的 $n$ 重积上的函数。任一这样的 $f$ 均可通过其傅里叶展开延拓为多环面 $\mathbf{T}^n$ 上的解析多项式，且此类多项式的集合恰为 $\mathbf{T}^n$ 上各变量次数至多为 $K-1$ 的所有解析多项式的集合。在此背景下，自然地会问 $f$ 在 $\mathbf{T}^n$ 与 $\Omega_K^n$ 上的上确界范数如何比较。我们证明如下针对低次多项式的\emph{一致范数离散化}：若 $f$ 作为解析多项式次数至多为 $d$，则 $\|f\|_{\mathbf{T}^n}\leq C(d,K)\|f\|_{\Omega_K^n}$，其中 $C(d,K)$ 与维数 $n$ 无关。作为推论，我们也获得了循环群乘积上函数的 Bohnenblust--Hille 不等式的新证明。我们论证的关键在于 $\Omega_K^n$ 上的一类特殊傅里叶乘子，其在限制于低次多项式时是 $L^\infty\to L^\infty$ 有界且与维数无关的。该类包含向低次多项式的 $k$ 次齐次部分的投影，以及粒度更细的投影。