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环上码的广义秩权重与扩展广义偏序权重：一种伽罗瓦连接方法

信息论 2026-07-02 v1
作者: Yang Xu , Haibin Kan , Guangyue Han
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摘要

本文通过伽罗瓦连接方法研究了环上码的广义秩权重（GRWs）和扩展广义偏序权重（EGPWs）。首先，我们展示了与广义权重相关的各种编码理论性质，包括用于II型窃听信道的码的安全跌落、Gabidulin码及其关联Delsarte码的广义权重之间的联系、（广义）Singleton界、码的MDS偏差、MDS、近MDS、ii-MDS、MRD、近MRD、ii-MRD、（对偶）拟MRD码的刻画以及子空间的规避性质，都可以用伽罗瓦连接来重新表述。接下来，我们研究了定义在主理想环上模，特别是链环上模的GRWs和秩轮廓。推广了定义在域上向量空间的GRWs，我们建立了Singleton界和Wei型对偶定理，刻画了MRD、近MRD和对偶拟MRD码并确定了它们的GRWs；此外，我们刻画了ii-MRD码，并为链环上的(h,h)(h,h)-规避码建立了散度界，推广了在有限域上向量空间建立的对应结果。最后，我们提出并研究了定义在具有合成列的模上的EGPWs和扩展偏序轮廓，它们实际上构成了一个伽罗瓦连接。推广了定义在有限伽罗瓦环上模的EGPWs，我们为任意拟Frobenius环上的模建立了Wei型对偶定理，该定理统一了在\cite{32}和\cite{33}中推导出的两个Wei型对偶定理。

关键词

广义秩权重 伽罗瓦连接 环上码 链环 Wei型对偶 MRD码

引用

@article{arxiv.2607.02377,
  title  = {Generalized Rank Weight and Extended Generalized Poset Weight Defined For Codes Over Rings: A Galois Connection Approach},
  author = {Yang Xu and Haibin Kan and Guangyue Han},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2607.02377},
  year   = {2026}
}