广义埃尔米特多项式与奇异六次振子的谱简并

我们研究了一个拟精确可解的奇异六次振子及其代数谱。对于一组特定的参数范围，我们证明了决定代数谱的矩阵的特征多项式的判别式可以自然地分解为三个因子。其中一个因子是广义埃尔米特多项式 $H_{mn}$ 的平方，其零点是第四 Painlevé 方程的有理解极点。因此，对应于判别式轨迹一个分量的谱简并（能级交叉点）与广义埃尔米特多项式的零点精确对应，为 Shapiro--Tater 渐近对应提供了精确的 Painlevé IV 类比，该对应最初是针对四次振子和 Painlevé II 提出的猜想。我们还刻画了六次振子同时具有两个在无穷远处指数行为相反的拟多项式本征函数时的参数值，并表明该现象也由广义埃尔米特多项式控制。我们的结果还给出了 $H_{mn}$ 的一个新的行列式表示，即决定代数谱的矩阵的两个互补块的特征多项式的结式。