重构直线上点的阈值

对于集合$V \subseteq \mathbb{R}$中的$n$个点，设$G(V, p)$为其中每个可能边独立以概率$p$存在的随机图。我们称子集$U \subseteq V$为可重构(reconstructible)，若每一个保持$G(V, p)$边沿距离的注入映射$\varphi: V \to \mathbb{R}$也保持$U$中所有两两距离。最大可重构子集大小$\mathsf{R}$是多少？Girão等人提出猜想：当$p = (1+\varepsilon)/n$时，$\mathsf{R}$在几乎 surely 的情况下为线性。本文中，我们证明：对于每一个$\varepsilon>0$，几乎 surely 存在可重构子集$U$包含在2-core的最大连通分量$\mathcal{C}$中，满足$|U| = |V(\mathcal{C})|(1-o(1))$，从而证实了猜想的更强形式。该界是渐近最佳的，因为当$V \subseteq \mathbb{R}$相对于$\mathbb{Q}$线性无关时，容易验证$\mathsf{R} \leq \max(2, |V(\mathcal{C})|)$。此外，我们将这些结果推广到满足$\varepsilon = \omega(1/\ln n)$的所有$\varepsilon := \varepsilon(n)$。