超越条件数与其应用：一种新的量子线性系统算法用于求解多元多项式系统

给定维数为 $M \times N$ 的矩阵 $A$ 和向量 $\vec{b}$，量子线性系统（QLS）问题要求准备与 $A\vec{y} = \vec{b}$ 的解成比例的量子态 $|\vec{y}\rangle$。现有的 QLS 算法的运行时间随条件数 $\kappa(A)$、矩阵稀疏性以及倒数精度的对数而增长，但常常忽略 $\vec{b}$ 的结构属性，其与 $A$ 特征空间的对齐程度可能显著影响性能。本文提出了一种新的 QLS 算法，显式地利用右侧向量 $\vec{b}$ 的结构。我们的算法的运行时间依赖于增广矩阵 $H = [A, -\vec{b}]$ 的稀疏性、倒数精度、解 $\vec{y} = A^+ \vec{b}$ 的 $\ell_2$ 范数，以及一个与实例相关的新参数\n$$ET= \sum_{i=1}^M p_i^2 \cdot d_i,$$\n其中 $\vec{p} = (AA^{\top})+ \vec{b}$，且 $d_i$ 表示 $H$ 第 $i$ 行的平方 $\ell_2$ 范数。我们还引入一种针对解 $\vec{y} = A^+ \vec{b}$ 的结构感知比例缩放技术。不同于左预条件化方法将线性系统转化为 $DA\vec{y} = D\vec{b}$，我们的做法应用右比例缩放矩阵，将线性系统重新表述为 $AD\vec{z} = \vec{b}$。作为我们实例感知 QLS 算法和新比例缩放方案的应用，我们发展了一个用于求解多元多项式系统的量子算法，在先前 QLS 基于方法在某些情况下难以应对的情形下，实现了有效求解。这为一类广泛问题提供了端到端框架。特别是，我们将其应用于最大独立集（MIS）问题，作为一个特殊的多项式系统情况，详细分析表明，在特定条件下，我们的 MIS 量子算法以多项式时间运行。