从哲学到程序大小

大多数关于计算复杂性的工作都关注时间。然而本课程试图表明，度量算法信息的程序大小复杂性在哲学意义上要重要得多。我将讨论如何利用这一复杂性度量来研究形式公理化数学理论所能和不能达成的目标。特别地，我将证明 (a) 形式公理化理论存在自然的信息论约束，并且程序大小复杂性提供了一条不同于 Kurt Godel 最初所用的通向不完备性的替代路径。此外，我将证明 (b) 在纯数学中存在一些因偶然而真、无任何理由为真的数学事实。这些事实涉及确定“自限定”通用图灵机的停机概率 Omega 精确数值的连续二进制数字。我相信这些元定理 (a,b)——(a) 公理化理论的复杂性可从信息论上刻画，以及 (b) 上帝在纯数学中掷骰子——都强烈暗示了一种准经验数学观。即，数学不同于物理学，但也许并不像人们通常认为的那样不同。我还将讨论理论计算机科学与理论物理学的融合、Leibniz 的复杂性思想、Stephen Wolfram 的著作《A New Kind of Science》，以及如何试图用信息论来定义什么是生命体。