从 Hop 缩减到负权最短路径稀疏化

实数权重的单源最短路径问题的教材算法在含 $m$ 条边、$n$ 个顶点的图上需要 $O(mn)$ 时间。最近的突破性算法 [Fin24] 采用 $\tilde{O}(mn^{8/9})$ 随机时间。随后该运行时间分别改进为 $\tilde{O}(mn^{4/5})$ [HJQ25] 和 $\tilde{O}(mn^{3/4}+m^{4/5}n)$ [HJQ26]。我们在 [Fin24; HJQ25; HJQ26] 的算法基础上，为负权最短路径构建更快的强多项式随机时间算法。本文中的一个重要新技术将之前的“hop 缩减器”[Fin24; HJQ26] 重新定位为“负边稀疏器”，通过基本相同因子将“hops”数量大幅减少。基于稀疏化 [Fin24] 分层 hop 缩减器的简单递归算法即可得到 $\tilde{O}(mn^{\sqrt{3}-1})<O(mn^{.7321})$ 的随机运行时间，统一改进 [HJQ26]。我们还通过提出替换 [HJQ26] 中稠密 shortcut 图的新型稀疏 shortcut 图来改进 [HJQ26] 中引导式 hop 缩减器的构建。将分层稀疏化、递归和稀疏引导三个技术整合到 [HJQ26] 的算法中，给出新的上界：当 $m\geq n^{1.03456}$ 时为 $O(mn^{.7193})$ 随机时间，当 $m<n^{1.03456}$ 时为 $O((mn)^{.8620})$ 随机时间。最近的 [LLRZ25] 同时取得的工作得到 $\tilde{O}(n^{2.5})$ 随机时间算法用于相同问题，并在过程中改进了 Fineman 框架中“betweenness 缩减”步骤的运行时间。将该子程序作为黑盒子引入，可将简单递归稀疏化算法的运行时间改进为 $\tilde{O}(mn^{1/\sqrt{2}})<O(mn^{.70711})$，稍作修改的递归稀疏化算法在 $m\geq n^{1.0274}$ 时运行 $O(mn^{.69562})$ 随机时间，在 $m<n^{1.0274}$ 时运行 $O((mn)^{.85})$ 随机时间。