具有覆盖目标的 \ell-Matchoid 问题的 FPT 算法

我们考虑在秩为 $k$ 的 $\ell$-matchoid 下优化覆盖函数的问题。我们设计了固定参数算法以及流算法来计算精确解。与先前假定拟阵具有线性可表示性的工作不同，我们考虑一般的预言机模型。对于覆盖函数为线性的特殊情况，我们给出了以 $\ell$ 和 $k$ 为参数的确定性固定参数算法。该结果结合 Lovasz 以及 Jensen 和 Korte 的下界，展示了在固定参数可处理性设定下 $\ell$-matchoid 与拟阵 $\ell$-奇偶性问题的分离。对于一般的覆盖函数，我们给出了确定性和随机化固定参数算法，以 $\ell$ 和 $z$ 为参数，其中 $z$ 是最优解中覆盖的点数。所得算法可直接转化为流算法。对于无权覆盖函数，我们表明即使函数以值预言机的形式给出（因此我们无法获得集合系统的显式表示），也能找到精确解。我们的结果可在流设定下实现，存储的元素数量仅依赖于 $\ell$ 和 $z$，而完全独立于基集的总大小 $n$。这表明通过参数化解的值，可以规避 Feldman 等人近期的空间下界。该结果结合已有的下界，也提供了在值预言机模型中最大化任意子模函数与覆盖函数的空间和时间复杂度之间的新的分离。