可压缩Euler流的激波和内爆型拟奇异性形成

本文研究了 $\mathbb{R}^d$（$d = 2, 3$）中等熵可压缩Euler方程中一种新颖的拟奇异性形成现象。对于任意给定的有限点集和任意足够大的参数 $\mathcal{M} > 0$，我们构造一族光滑的偶解析初始数据，其对应的解表现出三个同时成立的性质。首先，对于每个数据，存在一个时间 $T>0$，使得相应的解在 $[0,T]$ 上保持 $C^{1}$-光滑。其次，在整个区间内，速度和压力梯度在每个给定点的小邻域内超过 $\mathcal{M}$，而速度梯度超过 $\mathcal{M}^{2}$。第三，与此形成鲜明对比的是，速度、其梯度以及压力梯度在一个固定内部区域（其边界包含指定点）内保持一致有界——与 $\mathcal{M}$ 无关。此外，几乎爆破点集（即发生上述放大的点）的测度趋于零，并随着 $\mathcal{M}\to\infty$ 集中在指定位置附近。这一现象产生了高度局域化的拟奇异结构，表现出任意强的奇异行为，其特征是激波状的梯度集中和内爆状的空间局域化，同时保持在光滑解类中。该构造基于对线性化可压缩Euler方程的特殊设计剖面，以及对底层拟线性双曲系统的定量估计和控制。