对于边色临界图，非$r$-部谱极值图是边极值图

如果图的色数超过$r$，则称该图为非$r$-部图。对于色数$\chi(F)=r+1$的边色临界图$F$，设$\mathrm{ex}_{r+1,\rho}(n,F)$为$n$阶非$r$-部$F$-自由图的最大邻接谱半径，并设$\mathrm{EX}_{r+1,\rho}(n,F)$和$\mathrm{EX}_{r+1}(n,F)$分别为达到该最大谱半径和最大边数$\mathrm{ex}_{r+1}(n,F)$的图族。Fang和Zhai猜想对于每个这样的$F$和所有足够大的$n$，有$\mathrm{EX}_{r+1,\rho}(n,F)\subseteq\mathrm{EX}_{r+1}(n,F)$。在本文中，我们在假设$\mathrm{ex}_{r+1}(n,F)=|E(T_{n,r})|-\lfloor n/r\rfloor+O(1)$（其中$T_{n,r}$是Turán图）以及$F$的子分解族满足一个结构条件的情况下证明了这一包含关系。作为主要应用，对于$F=K_{1,1,t_3,\ldots,t_{r+1}}$且$t_3,\ldots,t_{r+1}\ge 2$，我们证明了对所有足够大的$n$有$$\mathrm{ex}_{r+1}(n,F)=|E(T_{n,r})|-\Bigl\lfloor\frac nr\Bigr\rfloor+2(t_{\min}-1), \qquad t_{\min}:=\min\{t_3,\ldots,t_{r+1}\},$$ 并由此推出$\mathrm{EX}_{r+1,\rho}(n,F)\subseteq\mathrm{EX}_{r+1}(n,F)$。