二神经元二次激活神经网络的欧几里得距离次数

我们从代数几何的角度研究代数神经网络模型的欧几里得距离次数。聚焦于具有两个神经元、二次激活和标量输出的浅层网络， 我们识别出与二次Veronese嵌入的第二割 variety 相关联。我们引入并分析虚拟欧几里得距离次数，这是作为variety总极次数定义的射影不变式， 与在通用标量积选择下的常规欧几里得距离次数相同。通过交叉理论、Chern-Mather类和由Kempf解析提供的Nash blown-up，我们将计算虚拟欧几里得距离次数简化为Grassmannian上显式交叉数的计算。应用等变局部化，我们证明了这一不变式对输入维度具有稳定多项式依赖。基于homotopy连续性的数值实验说明了欧几里得距离次数对所选度量的依赖，并突显了通用与非通用情况（如Bombieri-Weyl度量）之间的区别。