泊松边界的商、熵与谱间隙

泊松边界是可测 $\Gamma$-空间，可与群 $\Gamma$ 以及其上的概率测度 $\mu$ 标准关联。所有可测 $\Gamma$-等价商的集合，称为 $\mu$-边界，构成一个部分有序集，配有一个严格单调的非负函数，称为 Furstenberg 或微分熵。在本文中，我们展示了对于自由群和曲面群以及较为一般的测度，这一边界商的格中存在丰富性和复杂性。特别是，我们证明在每个足够低的熵水平上都存在连续个彼此无关的 $\mu$-边界，亦存在连续个互不相同的序理论立方体中的 $\mu$-边界。这些 $\mu$-边界是从稠密的线性表示 $\rho:\Gamma\to G$ 构造的，其中 $G$ 为半简单 Lie 群，如 $\PSL_2(\mathbb{C})^d$，其上的绝对连续平稳测度位于 $\hat{\mathbb{C}}^d$ 上。