有限量子历史：和乐谱、最小时钟与精确时钟变换协变性

我们求解了任意含时幺正步长的循环有限维量子历史，无需假设某一步具有有限阶。传播哈密顿量是循环上的幺正联络拉普拉斯算子；其完整规范不变量是单值 $M=U_{L-1}\cdots U_0$。其谱为 $\lambda_{a,k}=1-\cos((2\pi k-\theta_a)/L)$，其中 $e^{i\theta_a}\in\mathrm{spec}(M)$。因此精确历史扇区同构于 $\mathrm{Fix}(M)$，而挫折、非空零能隙以上的能隙、行列式以及有限温度迹均以闭式获得。普通谱数据可恢复单值相位余弦的多重集，但无法恢复相位取向；低能态可证明其接近精确关系历史。随后，我们将尖锐有限时钟相对于可及算子系统的预测商定义为在历史扇区上保持所有条件统计量的唯一最粗事件字母表。一个有限误差定理表明，当不等价事件通道的最小菱形分离度超过估计误差的四倍时，阈值聚类可恢复该商，并证明了最优记录数界。在完全矩阵访问和齐次步长 $U$ 的情况下，最小时钟事件数为 $U$ 的射影阶。我们区分了时钟代数的正规化子与保持相干历史码的变换，并将秩为 $r$ 的历史扇区上的有向精确尖锐时钟变换分类为 $U(r)\times\mathbb{Z}_L$；若无取向，循环因子变为二面体群。全信息时钟纤维的可逆变换必然是幺正的，因此不可逆粗粒化并非精确时钟协变性。完整历史 Gram 核的最小实现是唯一幺正等价的，并具有有限数据 Procrustes 界。独立的有限矩阵代码验证了主要结果。