二叉树上 min-plus 过程的有限深度标度与精确 Bernoulli-叶恒等式

min-plus 过程是二叉树上的一种随机凝聚-湮灭型过程，作为极大型递归分布方程的可解实例，在数学、物理学和计算机科学中备受关注。我们在高达 $N=60$ 的有效树深度下进行了大规模 Monte Carlo 模拟，为 $p=1/2$ 时其根值 $X_{N}$ 的 Beta(2,1) 拉伸指数极限提供了有限深度的验证，该极限位于 Chen、Duquesne 和 Shi 以及 Morfe 最近引入的随机-均匀系统分类的非对称 $\sqrt{N}$ 侧。在临界点之外，我们的模拟在 Monte Carlo 误差范围内证实了亚临界闭式 $\mathbb{P}(X_{\infty}=1)=(1-2p)/(1-p)$，并记录了在我们所达深度处超临界平均增长超过了初等 $(2p)^{N}$ 下界。对于 Bernoulli($q$) 初始条件变体，我们在 $p=1/2$ 时确定了一个初等闭式恒等式，该恒等式精确确定了序参量 $\mathbb{P}(X_{N}=0)=q$，将吸收态相变位置定位于 $p_{c}=1/2$（在算子混合概率中而非初始零密度中），并表明正数上的条件律随 $q$ 发生显著形变。我们的模拟采用了逐层递归和基于 FFT 的预计算叶表，在保持递归树律的同时降低了有效模拟深度，这可能对大型树上相关递归方程的模拟有所助益。