一般开放集中的分数 Hardy 不等式

我们证明，当 $sp>N$ 时，Sobolev-Slobodecki\u{\i} 空间中 punctured space $\mathbb R^N\setminus\{0\}$ 的 sharp Hardy 常数 $\mathfrak{h}_{s,p}$ 为 open $\Omega\subsetneq \mathbb R^N$ 的 Hardy 常数 $\mathfrak{h}_{s,p}(\Omega)$ 提供 optimal lower bound。该证明 exploit s Hardy's inequality 在分数设置下以 positive local weak supersolutions of relevant Euler-Lagrange equation 的 characterization。我们依赖于通过 means of the distance function from the boundary of $\Omega$ construction suitable supersolutions。此外，我们 compute $\mathfrak{h}_{s,p}$ 当 $s\nearrow 1$ 和 $p \nearrow \infty$ 的 limit。最后，我们将结果应用于建立当 $sp>N$ 时 non-local eigenvalue $\lambda_{s,p}(\Omega)$ 相对于 $\mathfrak{h}_{s,p}$ 的 lower bound，这反过来给出一个 constant 不随 $p\nearrow \infty$ 而消失的 improved Cheeger inequality。